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2015宁德福安市事业单位考试行测辅导:翻杯子问题的一些小结论

2015-04-30 16:56:17 公务员考试 https://fj.huatu.com/gwy/ 文章来源：宁德人才人事网

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在《行政职业能力测验》中，我们偶尔会碰到这样一类题目：有n个杯子杯口朝上，每次任意翻动其中的m个(n>m)，问经过若干次后，能否将全部杯子翻成杯口朝下;若能，少需翻几次?

　　一、什么情况下能翻成功

　　众所周知，一个杯口朝上的杯子，要翻成杯口朝下，要翻动1次、3次、5次……即奇数次。这样，根据奇、偶数的性质，不难发现：当杯子总数n为奇数而每次翻动的个数m为偶数时，无论翻几次，都不能成功。因为需翻动杯子的总次数为奇数(奇数个奇数的和为奇数)，而实际翻动总次数一定为偶数，显然奇数≠偶数，所以不能成功。除此之外的其它情况都能翻成功，即：

　　①杯子总数n为奇数、每次翻动的个数m为奇数，且需翻动奇数次;

　　②杯子总数n为偶数、每次翻动的个数m为奇数，且需翻动偶数次;

　　③杯子总数n为偶数、每次翻动的个数m为偶数，且翻动奇、偶次均可。

　　以上三种情况为可成功的情况，且根据上述结论中翻动次数的奇偶性可排除部分选项。

　　二、少需翻几次，怎样翻

　　简单的情况是，当杯子总数n是每次翻动次数m的整数倍时，n÷m即为少的翻动次数。通常，考题中的n是不能被m整除的，也就是说，在翻的过程中肯定有些杯子是需要重复翻的，这时，翻成功的次数必≥3次，具体少是几次，取决于次翻动之后，剩余杯子数(n-m)和每次翻动杯子数m之间的关系，可简化为以下三种情况考虑：①n=m+1;②n>2m;③n<2m。值得注意的是，倒数第二次翻动之后必有m个杯口朝上的杯子，那么，翻杯子的过程就是凑整数个m的杯子杯口朝上的过程。具体情况分析如下：

　　1.当n=m+1时，需翻n次

　　例1：有8个杯口全部向上的杯子，每次将其中7个同时翻转，经过几次翻转，杯口可以全部向下?

　　A.6 B.8 C.9 D.几次也不能

　　解析：首先判断能否成功，∵8个奇数之和是偶数=7×翻动次数，翻动次数存在且必为偶数，排除C、D选项。接下来确定少翻动次数。具体操作如下：(○表示杯口朝上，●表示杯口朝下)

　　○○○○○○○○

　　第1次 ●●●●●●●○

　　第2次 ○○○○○○●●

　　第3次 ●●●●●○○○

　　第4次 ○○○○●●●●

　　第5次 ●●●○○○○○

　　第6次 ○○●●●●●●

　　第7次 ●○○○○○○○

　　第8次 ●●●●●●●●

　　发现，每两次就能翻成两个，所以8个杯子每次翻7个需8次翻成功，共翻了56次，每个杯子翻了7次。事实上，每当重复翻动一个杯子，即将已翻成杯口朝下的杯子先翻回杯口朝上，下次再翻成杯口朝下，这个过程实际上是将一个杯子多翻了两次，假设不重复翻的话，相当于在原杯子总数n的基础上另外增加了两个杯子，即有(n+2)个杯子。同理，若需要重复翻动a个杯子就可看做共有(n+2a)个杯子需要翻动。显然，8个杯子，每次须翻动7个，那么第二次翻动时，一定有6个杯子被重复翻动，可看成每次增加2×6=12个杯子，则翻动次数为(8+12×4)÷7=8(次)，8+12×4=56表示总次数，还可知每个杯子均被翻了56÷8=7次。

　　2.n>2m

　　例2：有13个杯口全部向上的杯子，每次将其中5个同时翻转，经过几次翻转，杯口可以全部向下?

　　A.3 B.4 C.5 D.几次也不能

　　解析：首先判断能否成功，∵13个奇数之和是奇数=5×翻动次数，翻动次数存在且必为奇数，排除B、D选项。接下来确定少翻动次数。具体操作如下：(○表示杯口朝上，●表示杯口朝下)

　　○○○○○○○○○ ○○○○

　　第1次 ●●●●●○○○○ ○○○○

　　第2次 ●●●●○●●●● ○○○○

　　第3次 ●●●●●●●●● ●●●●

　　从左往右翻，当剩下的杯子数是小于2m的偶数时，先翻动它的一半，再由左边的补足，后一次就刚好全部翻成，故选A。

　　例3：有12个杯口全部向上的杯子，每次将其中5个同时翻转，经过几次翻转，杯口可以全部向下?

　　A.4 B.5 C.6 D.几次也不能

　　解析：首先判断能否成功，∵12个奇数之和是偶数=5×翻动次数，翻动次数存在且必为偶数，排除B、D选项。接下来确定少翻动次数。具体操作如下：(○表示杯口朝上，●表示杯口朝下)